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Illettrisme scientifique et éducation

Jean-Pierre BOURGUIGNON : Les mathématiques, une science polyvalente et pourtant gravement méconnue

Jean-Pierre Bourguignon

La nature des mathématiques, une question qui mérite d’être Posée

Les mathématiques ont une place à part parmi les sciences. Certains vont même jusqu’à nier leur statut de science car elles sont souvent présentées comme un langage, celui qu’utilise la science quantitative, le mathématicien étant lui-même souvent identifié à celui qui calcule. Les autres sciences, elles, parlent de la nature, ce qui fait que leur statut de science n’est pas remis en cause. Pour sortir de cette situation ambiguë, que je récuse, je rappellerai que les mathématiciens manipulent bien d’autres objets que des nombres : des formes, des figures géométriques, des structures, des motifs et des symétries. De plus en plus, les mathématiques s’intéressent aux processus et aux algorithmes. S’il fallait définir les mathématiques en trois mots, je dirais qu’elles sont la science des structures.

Tous ces objets différents sont le quotidien des mathématiciens. Aussi est-il extrêmement important de reconnaître qu’ils ne sont pas spontanément disponibles, mais le résultat d’une construction qui témoigne de la fonction créatrice des mathématiques. Réduire les mathématiques à un langage n’est pas acceptable tout simplement parce que l’objet de ce langage est une construction souvent laborieuse. Reconnaître la fonction créatrice de concepts des mathématiques est pour moi un acte fondamental. Or, cette dimension est bien souvent occultée dans l’enseignement, où les objets mathématiques sont présentés comme ayant une légitimité allant de soi, comme résultant d’une adhésion spontanée, parce que ces objets seraient immédiatement appréhendables. La seule contribution qu’apporteraient les mathématiciens serait de discourir sur ces objets. En réalité, leur construction est au cœur du travail des mathématiciens.

Brève perspective historique de l’architecture des mathématiques

Cela posé, les mathématiques sont une science qui a une longue histoire, mais dont le développement s’est accéléré de façon spectaculaire dans le dernier siècle. Tout au long des siècles, les problèmes étudiés par les mathématiciens et les outils qu’ils développent et utilisent sont influencés par d’autres secteurs de l’activité humaine, notamment les sciences et la technologie. Bien souvent, la création de nouveaux objets mathématiques a pour motivation de répondre à des questions posées par des non-mathématiciens. Historiquement, d’ailleurs, les savants n’étaient pas plus mathématiciens que physiciens ou naturalistes : ils étaient des savants. La spécialisation de la science, du savoir et de la pratique du savoir est un phénomène assez récent. L’impact des interactions des mathématiques avec les autres savoirs, les autres sciences et la technologie, est une autre raison d’introduire une dimension historique à cette intervention.

Telles qu’on peut les considérer aujourd’hui, les mathématiques sont construites sur quatre piliers : l’algèbre, la géométrie, l’analyse et les probabilités. L’algèbre est la science des formules et des algorithmes, raison pour laquelle Alain Connes aime à dire que cette discipline a beaucoup à voir avec la musique, par son lien avec la temporalité. Son objectif est de résoudre des équations. La géométrie est la science des formes et des espaces, son but étant de développer des outils pour concevoir ces objets. L’analyse est la science des inégalités et des limites, son but étant d’estimer. Elle est apparue avec Seki Takakazu, un mathématicien japonais, Gottfried Wilhelm Leibniz et Isaac Newton. Quant aux probabilités, elles sont la science des processus aléatoires, dont l’objectif est de prévoir en avenir incertain. On constate donc une grande diversité dans les objets, les objectifs et les méthodes qui sont sous-jacentes à ces branches. Depuis le XXe siècle, cette architecture à quatre piliers s’est considérablement transformée. Les relations entre ces quatre branches ont considérablement évolué. On a ainsi assisté à une période royale de développement des mathématiques après la Seconde Guerre mondiale, où chaque branche s’est développée de façon presque linéaire, sans interagir beaucoup avec les autres. C’est dans la période 1970 à 1990 que l’on a assisté à des croisements assez extraordinaires : l’algèbre s’est enrichie de points de vue géométriques ; les analystes se sont intéressés à la géométrie ; les techniques probabilistes, a priori nourries initialement de problématiques analytiques, ont permis de résoudre des problèmes de géométrie, etc.

Les mathématiques ne sont donc pas un palais reposant sur quatre piliers : l’architecture de ce palais change constamment. Leur évolution est liée à l’apparition, souvent totalement inattendue, de nouvelles branches, voire la construction de palais annexes – comme cela s’est produit avec le développement de l’informatique –, palais qui tendent à devenir aussi imposants, si ce n’est plus, que le bâtiment principal. L’importance radicale de ces transformations a quelquefois été niée, et on a vu certains mathématiciens entretenir l’illusion que l’informatique, par exemple, ne serait qu’une technique éphémère : ces temps sont heureusement dépassés. L’informatique, pour parler encore d’elle, s’est ainsi développée suivant sa dynamique propre, de façon maintenant totalement autonome par rapport aux mathématiques, mais en leur apportant en permanence autant de questionnements nouveaux que d’outils permettant de gagner de nouveaux points de vue sur certaines questions mathématiques. Qui sont les mathématiciens aujourd’hui ?

On compte aujourd’hui environ 100 000 mathématiciens qui font de la recherche dans le monde. Ce nombre est en extension rapide, du fait de l’arrivée massive de nouveaux contingents émanant de plusieurs pays émergents, comme la Chine ou le Brésil. Si la Chine continue son expansion au rythme actuel, environ un tiers des mathématiciens du monde seront chinois en 2020. Tous ces mathématiciens travaillent d’arrache-pied et produisent en moyenne 100 000 articles par an, chaque article contenant bien entendu de nouveaux résultats, ce qui donne une idée du nombre de nouveaux théorèmes qu’il conviendrait d’assimiler chaque année. Suivre le développement des mathématiques est donc devenu une aventure impossible si l’on ne s’organise pas pour faire face à ces nouveaux développements massifs. Par comparaison, les mathématiciens étaient à peu près 200 au début du XXe siècle, comme l’atteste la participation au deuxième grand congrès international des mathématiciens qui a eu lieu à Paris, en 1900, et a rassemblé 153 participants. On peut penser qu’environ deux tiers de tous les mathématiciens de l’époque y étaient présents. Reste que la communauté des mathématiciens est en fait très petite lorsqu’on la compare à celle des biologistes, dont le nombre est estimé à environ 2 millions de membres de par le monde.

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Quelques tournants dans l’histoire des mathématiques

Les mathématiques, il faut le rappeler, ne s’appuient pas sur un donné. Elles transforment régulièrement leur champ, celui-ci étant modifié par l’intrusion de nouvelles conceptions. Une des révolutions importantes dans l’histoire des mathématiques est ainsi due à Descartes, lorsqu’il a affirmé que chaque figure géométrique pouvait être représentée par des nombres. Si l’on se replace dans le contexte historique, cette affirmation de l’identité des deux champs sémantiques était un réel acte de violence, philosophiquement discutable. Dès que ce pas a été franchi, comme les savants connaissaient les équations algébriques, ils ont pu se mettre à considérer des courbes qui satisfaisaient des équations algébriques mais que les constructions géométriques disponibles jusqu’à cette époque n’avaient pas permis de prendre en considération. Auparavant, d’une certaine façon, on n’avait accès qu’aux coniques, les courbes associées à des équations algébriques de degré 2.

Voici un autre exemple de création mathématique qui a bouleversé le paysage de la discipline et a ouvert des possibilités nouvelles extraordinaires. On connaît bien la révolution héliocentrique et la fin du géocentrisme que l’on doit à Nicolas Copernic. Il manquait pourtant à Copernic un cadre théorique pour rendre compte de sa découverte et la rendre complètement opérationnelle. Ce cadre a été apporté par Galileo Galilée, Johannes Kepler et Isaac Newton. Le premier affirme dans un texte célèbre, Il Saggiatore, que l’univers est écrit dans le langage des mathématiques. Kepler, pour sa part, donne les trois lois fondamentales du mouvement des objets de la mécanique céleste, dont l’une énonce que les planètes se déplacent sur des ellipses, dont un des foyers est le Soleil. Il s’agit là de considérations expérimentales, aucune théorie n’aboutissant à la construction d’ellipses de cette façon. La deuxième loi énonce que le segment joignant le Soleil et la planète balaie des aires égales dans des temps égaux, et la troisième, qu’il y a une relation algébrique entre le diamètre de l’ellipse et la distance au Soleil. C’est Newton qui fera le saut supplémentaire. Dans un même livre, les Principia Mathematica Philosophia Naturalis, il va créer une nouvelle branche des mathématiques, le calcul différentiel, créer la loi fondamentale de la dynamique, qui supposait d’avoir dégagé le concept d’accélération instantanée, et énoncer la loi de la gravitation universelle. Restons dans ce domaine pour identifier une autre fonction des mathématiques. Tout au long du XVIIIe siècle, la mécanique céleste a connu un grand succès grâce à la théorie des perturbations. La complexité croissante des calculs a exigé de nouveaux outils, que Joseph- Louis de Lagrange développe dans sa Mécanique analytique. Dans un mémoire paru en 1808, Mémoire sur la théorie des variations des éléments des planètes, Lagrange propose, pour résoudre le problème, de travailler dans un espace totalement abstrait, celui des mouvements elliptiques. C’est la première fois dans l’histoire des mathématiques qu’on s’intéresse à un espace totalement abstrait, à six dimensions, comme l’espace ordinaire augmenté de l’espace des vitesses. Il se rend compte que cet espace dispose naturellement d’une structure mathématique d’un type nouveau, et, par ce trait de génie, Lagrange donne naissance à une nouvelle géométrie.

« L’objet de ce mémoire, écrit-il, est d’exposer les nouvelles formules que j’ai trouvées pour les variations des éléments des planètes ainsi que leur application aux variations des grands axes, et de développer surtout l’analyse qui m’y a conduit, et qui me paraît mériter l’attention des Géomètres par son uniformité et par sa généralité, puisqu’elle est indépendante de la considération des orbites elliptiques, et qu’elle peut s’appliquer avec le même succès à toute hypothèse de gravitation dans lesquelles les orbites ne seraient plus des sections coniques. »

Au passage, cette construction ne sera pas comprise par Pierre- Simon de Laplace, et il faudra pratiquement trente ans pour que William Rowan Hamilton reprenne ce travail. C’est un saut historique considérable. Par ce travail, Lagrange montre que la bonne façon de traiter le problème est de remplacer l’objet sensible, qui se présente naturellement, par un objet d’une autre nature, dont la structure est héritée de certaines invariances qu’on peut qualifier de géométriques. Ce processus de sophistication de la notion d’espace avec création sous-jacente d’une nouvelle géométrie a été utilisé par beaucoup de mathématiciens ou de physiciens dans les années suivantes, ce, jusqu’à nos jours : Bernhard Riemann, Albert Einstein, Henri Poincaré, Hermann Minkowski, Élie Cartan, Paul-Adrien-Maurice Dirac, Alain Connes et d’autres.

Conséquences sur l’enseignement des mathématiques

Quelles sont les conséquences de ces considérations dans le domaine de l’enseignement ? D’abord, qu’un certain nombre d’objets mathématiques élémentaires, comme les nombres ou les figures, objets que l’on rencontre très naturellement, méritent d’être présentés pour ce qu’ils sont, à savoir des objets mathématiques parmi les autres. D’une certaine façon, les contenus enseignés méritent d’être reconsidérés périodiquement, du fait des développements internes des mathématiques, mais aussi de l’usage qu’on en fait. Parmi les sujets qui ont pris une place de plus en plus grande dans l’usage des mathématiques, je citerais deux exemples : les statistiques d’une part, les structures discrètes d’autre part. Très peu d’enseignements élémentaires font une grande place à leur étude, preuve qu’il est légitime de s’interroger à propos des contenus actuellement enseignés, la valeur exemplaire et formatrice devant être mise en balance avec la valeur d’usage. Mais, pour moi, la clé fondamentale est ailleurs, à savoir que les élèves aient la pratique du questionnement mathématique, et qu’ils fassent eux-mêmes des mathématiques, mêmes élémentaires, la question du questionnement autonome étant décisive dans le travail du mathématicien.

Que disent les mathématiques de la réalité ? La notion de modèle

J’en viens à la relation des mathématiques à la réalité. Très sou - vent, ai-je déjà fait remarquer, les mathématiciens se saisissent de questions concrètes. Mais comment fait-on pour construire un modèle mathématique d’une situation concrète ? Bien souvent, et on le constate à répétition dans l’Histoire, aucune distance n’est introduite entre le modèle mathématique construit et l’objet représenté. Kant dit ainsi que l’espace doit être euclidien et le temps indépendant de l’espace. Ce faisant, il instaure des catégories philosophiques auxquelles on n’aurait pas le droit de toucher, alors qu’il s’agit simplement de modèles mathématiques parmi d’autres. C’est dans l’ouvrage d’Henri Poincaré La Science et l’Hypothèse, livre destiné au grand public, qu’un tournant décisif a eu lieu dans l’affirmation de l’autonomie des modèles mathématiques par rapport à la description du monde. Poincaré y dit en effet :

« Les axiomes géométriques ne sont pas des énoncés a priori ni des faits expérimentaux. Ce sont seulement des conventions. En conséquence […] que doit-on penser de la question : est-ce que la géométrie euclidienne est vraie ? Elle n’a aucun sens. Une géométrie ne peut pas être plus vraie qu’une autre. Elle peut simplement être plus commode. » (Poincaré, 1902)

Le cas des probabilités et des statistiques est quelque peu différent, dans la mesure où elles sont nées du contact avec des objets très concrets. La théorie des probabilités a mis longtemps à émerger en tant que théorie scientifique. Elle a été initialement stimulée par des considérations reliées à des questions sociales, comme la démographie, l’évaluation du risque d’accidents par les compagnies d’assurances. Cela supposait d’utiliser des statistiques. La théorie a eu nombre de précurseurs, mais c’est Andreï Kolmogorov qui lui a donné son cadre théorique au début du XXe siècle. On avait déjà sous la main un certain nombre de modèles aléatoires importants, comme le mouvement brownien, concept qui vient du naturaliste Robert Brown qui, en 1823, a observé comment le pollen se déplace à la surface d’un liquide. Les premières théories rendant compte de ce mouvement sont dues à Louis Bachelier, qui s’intéressait au mouvement de la Bourse, puis à Einstein, dans un article fameux de 1905, son année merveilleuse pendant laquelle il a fait trois découvertes qui ont révolutionné la physique. Pour traiter de ces objets extrêmement irréguliers correspondant à des mouvements chaotiques, il fallait d’autres outils mathématiques que les outils classiques. Le défi a été relevé au prix d’efforts mathématiques considérables, réalisés indépendamment des motivations pratiques. Encore une fois, dans ce domaine, les mathématiques se sont inspirées de questions concrètes, les résolvant par des raisonnements purement mathématiques, démarche qui donne éventuellement lieu à des objets nouveaux. L’informatique pourrait être citée comme domaine d’existence récente extrêmement motivant pour les mathématiciens. Aujourd’hui, une nouvelle génération de mathématiciens est capable d’incorporer les problématiques de l’informatique au sein même des mathématiques, comme Terry Tao ; capable de se mouvoir aussi bien parmi les objets les plus classiques des mathématiques que parmi ceux de la logique et de l’informatique ou de la combinatoire. Mais je citerai aussi les fondateurs de Google, Sergueï Brin et Larry Page, jeunes étudiants en mathématiques, qui ont fabriqué un algorithme novateur qui a servi de base au développement de Google.

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Où en sont les mathématiques ?

Cette histoire montre que les mathématiques sont un corps en expansion, en réorganisation permanente, qui s’ouvre à de nouvelles interactions. Cela rend nécessaire de revisiter un certain nombre de sujets considérés dans certains pays comme secondaires, comme les structures discrètes, pour pouvoir contribuer à la solution de questions posées par le nouveau paradigme de la biologie, qu’est le génome, ce qui est aujourd’hui une interface très importante des mathématiques. Cette évolution oblige les mathématiciens à repenser un certain nombre d’objets et à imaginer d’autres domaines. Pour les biologistes, par exemple, il serait très important de disposer d’une statistique des images : comment faire pour traiter des images comme des objets dont on peut faire une statistique sans les réduire à une succession de pixels ? L’avantage des nombres est qu’ils sont ordonnés. Cette réflexion est devenue urgente dans la mesure où la société de l’information dans laquelle nous vivons exige la manipulation de grandes quantités de données abstraites. La conséquence, c’est la nécessité d’ouvrir de nouveaux domaines aux mathématiques, avec des débouchés pour les mathématiciens. Par ailleurs, pour les citoyens eux-mêmes, dans leur vie quotidienne, leurs décisions personnelles et collectives, il est très important qu’ils puissent comprendre les statistiques.

Qu’est-ce que l’illettrisme en mathématiques ?

Je suis partagé sur l’utilisation de ce vocable, que je trouve trop absolu, estimant qu’on doit lui donner des sens différents pour les groupes auxquels on l’applique : grand public, médiateurs, décideurs. Pour le grand public, les médiateurs et les décideurs, il s’agit surtout d’un manque de connaissances et d’appétence conduisant à un défaut d’intelligibilité des mathématiques. Pour le grand public, le défi à relever est l’acquisition d’une familiarité minimale avec les notions mathématiques fondamentales mais aussi avec les statistiques. Des a priori sur les mathématiques se forment souvent lors de la confrontation avec la discipline qui a lieu à l’école. Beaucoup résistent à l’acquisition de connaissances mathématiques, fiers de n’y rien comprendre.

Il est indispensable que les médiateurs – journalistes et enseignants – aient accès à ces nouveaux savoirs. Comment faire pour que les enseignants aient une idée de la transformation des mathématiques, qui est, de fait, très rapide ? Dans le cadre contraint de l’école, la transmission n’est pas facile, puisqu’il faut suivre un programme et s’assurer de la maîtrise des contenus. Comment créer des lieux, des occasions de rencontre avec des mathématiciens, pour que cette transmission puisse avoir lieu de façon renouvelée ?

Le problème, pour les décideurs, est encore plus compliqué car, très souvent, les décisions sont dominées par des considérations de court terme, alors qu’en mathématiques les constantes de temps sont longues. Il faut donc être convaincu de leur impact possible et leur donner le temps de se développer. Par ailleurs, les décideurs sont une catégorie de la population qui a une image des plus stéréotypées des mathématiques, qu’ils conçoivent comme une chose figée et un réservoir où ils peuvent éventuellement puiser. L’espoir peut venir d’un certain nombre d’entreprises. Lors d’un atelier sur les mathématiques et leur importance pour l’entreprise organisé dans le cadre de l’école d’été 2011 du MEDEF, le directeur de la recherche de Véolia, Philippe Martin, a annoncé vouloir faire passer le pourcentage d’ingénieurs mathématiciens de cette entreprise de 8 % à 20 % d’ici à dix ans, au motif que les mathématiques seront décisives dans le cadre de nouveaux produits que l’entreprise envisage de commercialiser, comme l’aide à la décision pour l’organisation urbaine. Pour cela, il est indispensable de faire émerger des structures à partir des nombreuses données collectées par l’entreprise dans le cadre d’autres activités qu’elle exerce déjà. Or, que sont les mathématiciens sinon des professionnels de l’identification des structures ?

vendredi 13 décembre 2013, par Olivier Dargouge